શૂન્યની શોધ: પ્રાચીન ભારતીય ગણિત અને દશાંશ પદ્ધતિનો ઉદ્ભવ

ટૂંકમાં ઉત્તર: ભારત દ્વારા શૂન્યનું સર્જન

જ્યારે બેબીલોનિયન અને માયા જેવી પ્રાચીન સંસ્કૃતિઓએ સંખ્યાઓની હરોળમાં "ખાલી જગ્યા" દર્શાવવા માટે સ્થાનદર્શક પ્રતીકોનો ઉપયોગ કર્યો હતો, ત્યારે પ્રાચીન ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રીઓ શૂન્ય (શૂન્ય)ને તેના પોતાના વિશિષ્ટ ગાણિતિક ગુણધર્મો સાથે એક સ્વતંત્ર, સંપૂર્ણ સંખ્યા તરીકે ગણનારા સૌપ્રથમ હતા. ૫મી સદીમાં આર્યભટ્ટ દ્વારા સ્પષ્ટપણે વર્ણવવામાં આવેલી દશાંશ સ્થાન-મૂલ્ય પદ્ધતિના ઔપચારિકરણથી શરૂ કરીને, અને ઈ.સ. ૬૨૮માં બ્રહ્મગુપ્ત દ્વારા આપવામાં આવેલા શૂન્ય માટેના સ્પષ્ટ અંકગણિતીય નિયમો સુધી, ભારતીય ગાણિતિક પરંપરાએ શૂન્યને માત્ર એક ગેરહાજરીના પ્રતીકમાંથી એક ગતિશીલ, ગણતરી કરી શકાય તેવી એન્ટિટીમાં મૂળભૂત રીતે પરિવર્તિત કર્યું. બ્રાહ્મસ્ફુટસિદ્ધાંત અને બખ્શાલી હસ્તપ્રત જેવા પ્રાથમિક ગ્રંથોમાં નોંધાયેલી આ ઐતિહાસિક વૈચારિક હરણફાળે આધુનિક અંકગણિત, બીજગણિતીય સમીકરણો અને આજે વૈશ્વિક સ્તરે ઉપયોગમાં લેવાતી હિન્દુ-અરબી અંક પદ્ધતિ માટેનો સંપૂર્ણ માળખાકીય પાયો નાખ્યો.

મૂળ ગ્રંથો વાસ્તવમાં શું કહે છે: સ્થાનદર્શકથી લઈને સંખ્યા સુધીની સફર

લોકપ્રિય કથાઓ મોટાભાગે "શૂન્યની શોધ"ને સંપૂર્ણ બુદ્ધિપ્રતિભાની એકમાત્ર ક્ષણ તરીકે રજૂ કરે છે. જોકે, પ્રાથમિક સંસ્કૃત ગાણિતિક ગ્રંથો (શાસ્ત્રો અને સિદ્ધાંતો) નો અભ્યાસ કરવાથી આ દિશામાં થયેલો એક અત્યંત ઝીણવટભર્યો, સદીઓ લાંબો ક્રમિક વિકાસ છતો થાય છે. આ ખ્યાલ વિવિધ વિદ્યાશાખાઓમાં વિકસિત થયો - સંસ્કૃત છંદશાસ્ત્રના દ્વિઆધારી માપદંડોથી લઈને જટિલ ખગોળીય ગણતરીઓ સુધી, અને અંતે શુદ્ધ અંકગણિત સુધી.

પિંગળ અને પ્રારંભિક દ્વિઆધારી પદ્ધતિ (આશરે ઈ.પૂ. ૩જી-૨જી સદી)

એકાઉન્ટિંગ અથવા દૈનિક અંકગણિતમાં શૂન્યનો ઉપયોગ થવા લાગ્યો તેના ઘણા સમય પહેલાં, તે ભાષાવિજ્ઞાન અને કાવ્યશાસ્ત્રના છંદના સંદર્ભમાં જોવા મળતું હતું. આચાર્ય પિંગળનું છંદઃશાસ્ત્ર એ છંદશાસ્ત્ર (કાવ્યના છંદોનો અભ્યાસ) પરનો એક પ્રાચીન સંસ્કૃત ગ્રંથ છે. લઘુ (લઘુ) અને ગુરુ (ગુરુ) અક્ષરોના તમામ સંભવિત સંયોજનોની ગણતરી કરવા માટે, પિંગળે એક દ્વિઆધારી પદ્ધતિ વિકસાવી. સંભવિત છંદોની સંખ્યાની ગણતરી કરવા માટેના અલ્ગોરિધમનું વર્ણન કરતી વખતે, પિંગળ એક ચોક્કસ ગાણિતિક પગલાંનો નિર્દેશ કરવા માટે શૂન્ય શબ્દનો ઉપયોગ કરે છે: જ્યારે કોઈ સંખ્યાને બે વડે ભાગવામાં આવે અને કોઈ શેષ ન વધે ત્યારે એક ચિહ્ન મૂકવું. જોકે આ આજે આપણે જાણીએ છીએ તે દશાંશ શૂન્ય નથી, પરંતુ તે ભારતીય ઉપખંડમાં ગાણિતિક ગણતરીના ચિહ્ન તરીકે શૂન્યના ઉપયોગની સૌથી જૂની નોંધાયેલી ઘટના છે.

આર્યભટ્ટ અને સ્થાન-મૂલ્ય પદ્ધતિ (ઈ.સ. ૪૯૯)

સાચી દશાંશ સ્થાન-મૂલ્ય પદ્ધતિને કાર્યક્ષમ રીતે કામ કરવા માટે શૂન્યની આવશ્યકતા છે, અને તેના ગાણિતિક ઔપચારિકરણનો ઊંડો સંબંધ ખગોળશાસ્ત્રી-ગણિતશાસ્ત્રી આર્યભટ્ટ સાથે છે. આર્યભટ્ટે માત્ર ૨૩ વર્ષની વયે રચેલા તેમના અગ્રણી ગ્રંથ આર્યભટીયમાં, સ્થાનિક ગણિત નો સંપૂર્ણ પાયો સ્થાપિત કર્યો. તેમના ગણિતપાદ (ગણિત પરના વિભાગ)ના શ્લોક ૨માં જણાવાયું છે:

એકં દશ ચ શતં ચ સહસ્રમ્ ત્વયુતનિયુતે તથા પ્રયુતમ્ |
કોટીરર્બુદં ચ વૃંદં સ્થાનાત્ સ્થાનં દશગુણં સ્યાત્ ||

આનો સીધો અનુવાદ આ પ્રમાણે થાય છે: "એક, દસ, સો, હજાર, દસ હજાર, લાખ, દસ લાખ, કરોડ, દસ કરોડ, અબજ; એક સ્થાનથી બીજા સ્થાને જતાં, દરેકનું મૂલ્ય આગળના કરતા દસ ગણું થાય છે." આ વાક્ય સ્થાનાત્ સ્થાનં દશગુણં સ્યાત્ નિઃશંકપણે ગણિતના ઇતિહાસના સૌથી મહત્વપૂર્ણ વાક્યોમાંનું એક છે. આર્યભટ્ટે અહીં શૂન્ય માટે કોઈ ચોક્કસ પ્રતીકનો ઉપયોગ કર્યો ન હતો; તેના બદલે, તેમણે એક અત્યંત જટિલ આલ્ફાસિલેબિક સિસ્ટમ (જ્યાં સંસ્કૃત વ્યંજનો અને સ્વરો સંખ્યાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા હતા) ની શોધ કરી હતી જે સંપૂર્ણપણે સ્થાન-મૂલ્યના તર્ક પર આધારિત હતી. "ખાલી સ્થાન" ની વૈચારિક વાસ્તવિકતા વિના (જે ટૂંક સમયમાં શૂન્ય પ્રતીક દ્વારા ભરવામાં આવનાર હતી), આ દશગુણં (દસ-ગણી) પ્રગતિ નિષ્ફળ જાય છે.

બ્રહ્મગુપ્ત અને શૂન્યનું અંકગણિત (ઈ.સ. ૬૨૮)

જો આર્યભટ્ટે સ્થાન-મૂલ્યનો પાયો નાખ્યો હોય, તો બ્રહ્મગુપ્તે જ શૂન્યને ગાણિતિક સમ્રાટ તરીકે પ્રસ્થાપિત કર્યું. તેમના મહાન ગ્રંથ, બ્રાહ્મસ્ફુટસિદ્ધાંત ("બ્રહ્માનો યોગ્ય રીતે સ્થાપિત સિદ્ધાંત") ના ૧૮માં અધ્યાયમાં, બ્રહ્મગુપ્ત એવું કંઈક કરે છે જે ઇતિહાસમાં કોઈ ગણિતશાસ્ત્રીએ ક્યારેય કર્યું ન હતું: તેઓ શૂન્ય અને ઋણ સંખ્યાઓ સાથે ગણતરી કરવા માટે ઔપચારિક, બીજગણિતીય નિયમો પ્રદાન કરે છે. તેઓ શૂન્યને માત્ર એક ખાલી જગ્યા તરીકે નહીં, પરંતુ એક એવા જથ્થા તરીકે જુએ છે જેને ઉમેરી શકાય, બાદ કરી શકાય, ગુણાકાર કરી શકાય અને ભાગાકાર કરી શકાય.

બ્રહ્મગુપ્ત તેમના નિયમો કાવ્યાત્મક સચોટતા સાથે રજૂ કરે છે. સરવાળા અને બાદબાકી માટે, તેઓ લખે છે:

• "શૂન્ય અને ઋણ સંખ્યાનો સરવાળો ઋણ થાય છે."
• "શૂન્ય અને ધન સંખ્યાનો સરવાળો ધન થાય છે."
• "બે શૂન્યનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે."
• "શૂન્યમાંથી ઋણ સંખ્યા બાદ કરતાં ધન મળે છે; શૂન્યમાંથી ધન સંખ્યા બાદ કરતાં ઋણ મળે છે; શૂન્યમાંથી શૂન્ય બાદ કરતાં શૂન્ય મળે છે."

ગુણાકાર માટે, તેઓ સ્પષ્ટપણે નોંધે છે: "શૂન્ય અને ઋણ, ધન અથવા શૂન્યનો ગુણાકાર શૂન્ય જ થાય છે."

જોકે, ભાગાકારમાં બ્રહ્મગુપ્ત અંકગણિતના સૌથી જોખમી ક્ષેત્રને સમજાવવાનો પ્રયાસ કરે છે. તેઓ લખે છે: "કોઈ ધન અથવા ઋણ સંખ્યાને શૂન્ય વડે ભાગતા તે એક અપૂર્ણાંક બને છે જેનો છેદ શૂન્ય હોય છે (ખ-છેદ)." તેમણે સાહસિકતાપૂર્વક એવું પણ જાહેર કર્યું કે શૂન્યને શૂન્ય વડે ભાગતા શૂન્ય જ આવે છે ("શૂન્યને શૂન્ય વડે ભાગતા શૂન્ય મળે છે."). જોકે આધુનિક ગણિત આ અંતિમ મુદ્દા સાથે અસંમત છે (0/0 ને અવ્યાખ્યાયિત માને છે), શૂન્યને તમામ પ્રમાણભૂત અંકગણિતીય ક્રિયાઓને આધીન એક ગાણિતિક પદાર્થ તરીકે માનવાની બ્રહ્મગુપ્તની હિમ્મત માનવ વિચારસરણીમાં એક ક્રાંતિકારી પરિવર્તન દર્શાવે છે.

બખ્શાલી હસ્તપ્રત અને બિંદુ

વર્તમાન પાકિસ્તાનમાં ૧૮૮૧માં મળી આવેલી બખ્શાલી હસ્તપ્રત, શૂન્યના વિકાસના નિર્ણાયક દ્રશ્યમાન પુરાવાઓ પૂરા પાડે છે. તે ભોજપત્ર પર લખાયેલી એક ગાણિતિક કાર્યપોથી છે, જેનો ઉપયોગ કદાચ વેપારીઓ અથવા વિદ્યાર્થીઓ કરતા હશે. સમગ્ર હસ્તપ્રતમાં, ખાલી દશાંશ સ્થાનોને કાળા રંગના એક ઘાટા ટપકા દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યા છે, જેને બિંદુ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ બિંદુ એ આજે આપણે વાપરીએ છીએ તે પોલા ગોળાકાર પ્રતીક (0) નો સીધો પૂર્વજ છે. તે સાબિત કરે છે કે આર્યભટ્ટ અને બ્રહ્મગુપ્ત જેવા ઉચ્ચ કક્ષાના ખગોળશાસ્ત્રીઓ દ્વારા ચર્ચાયેલા અમૂર્ત ખ્યાલો વાસ્તવમાં વ્યાવહારિક, પ્રાયોગિક ગણિતમાં સક્રિયપણે ઉપયોગમાં લેવાતા હતા, અને સ્થાન-મૂલ્યની ગણતરીઓને સરળતાથી પાર પાડવા માટે એક ભૌતિક પ્રતીકનો ઉપયોગ થતો હતો.

મહત્વપૂર્ણ સંસ્કૃત પરિભાષા: શૂન્યતાનું શબ્દભંડોળ

પ્રાચીન ભારતીય ગણિતની પ્રતિભાને તે શબ્દભંડોળ સમજ્યા વિના સંપૂર્ણપણે પામી શકાતી નથી જેમાંથી તેનો જન્મ થયો હતો. આ પરિભાષા અમૂર્ત તત્વજ્ઞાન, ભાષાવિજ્ઞાન અને ગાણિતિક તર્ક વચ્ચેનો ઊંડો સમન્વય દર્શાવે છે. અંગ્રેજીમાં તેનો ઢીલો અનુવાદ મોટાભાગે આ તેજસ્વિતાને છુપાવી દે છે.

• શૂન્ય: મૂળભૂત રીતે એક દાર્શનિક અને ધાર્મિક શબ્દ, જે ખાસ કરીને બૌદ્ધ ફિલસૂફીમાં (શૂન્યતા) પ્રચલિત હતો, જેનો અર્થ "રિક્તતા", "ખાલીપણું" અથવા "આંતરિક અસ્તિત્વથી મુક્ત" એવો થાય છે. જ્યારે ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રીઓને સ્થાનિક સંખ્યાની હરોળમાં "ખાલી સ્થાન" દર્શાવવા માટે કોઈ શબ્દની જરૂર પડી, ત્યારે તેમણે આ દાર્શનિક શબ્દ ઉધાર લીધો. સમય જતાં તેનો અર્થ "ગેરહાજરી" પરથી બદલાઈને શૂન્યના ચોક્કસ ગાણિતિક મૂલ્યનું પ્રતિનિધિત્વ કરતો થઈ ગયો.
• સ્થાન: જેનો અર્થ થાય છે "જગ્યા", "સ્થિતિ", અથવા "નિવાસસ્થાન". ગણિતમાં, તે ખાસ કરીને સંખ્યા શૃંખલામાં અંકના સ્થાનનો સંદર્ભ આપે છે. સ્થાન-મૂલ્યનો ખ્યાલ એ જ બાબત છે જે દશાંશ અંકગણિતને શક્ય બનાવે છે, અને માનવજાતને રોમન અંકો જેવી સરવાળા-આધારિત પદ્ધતિઓથી દૂર લઈ જાય છે.
• બિંદુ: જેનો અર્થ "ટીપું" અથવા "ટપકું" થાય છે. બખ્શાલી લખાણ જેવી પ્રારંભિક હસ્તપ્રતોમાં આ શૂન્યની ભૌતિક, ગ્રાફિકલ રજૂઆત હતી. હિંદુ ફિલસૂફીમાં, બિંદુ બ્રહ્માંડના બીજ, સંપૂર્ણ સંભવિતતાના અવ્યક્ત બિંદુનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે — જે એક એવી ગાણિતિક એન્ટિટી માટેનું યોગ્ય ભૌતિક પ્રતીક છે જેનું પોતાનું કોઈ મૂલ્ય નથી પરંતુ અન્ય સંખ્યાઓના મૂલ્યમાં દસ ગણો વધારો કરે છે.
• ખ: જેનો શાબ્દિક અનુવાદ "આકાશ", "અવકાશ" અથવા "ઈથર" થાય છે. પ્રાચીન ભારતીય શબ્દ-સંખ્યા પદ્ધતિ (ભૂત-સંખ્યા) માં, કાવ્યાત્મક છંદોમાં સંખ્યાઓ લખવા માટે "એક" (જેમ કે ચંદ્ર અથવા પૃથ્વી) અને "બે" (જેમ કે આંખો અથવા હાથ) દર્શાવતા શબ્દોનો ઉપયોગ થતો હતો. "આકાશ" અથવા "અવકાશ" (ખ, ગગન, અંબર) માટેના શબ્દોનો સર્વત્ર શૂન્યને દર્શાવવા માટે ઉપયોગ થતો હતો, જે ખાલી અવકાશના ખ્યાલને ગાણિતિક રિક્તતા સાથે સંપૂર્ણપણે જોડી દેતો હતો.
• ખહર: આ એક સંયુક્ત શબ્દ છે જેનો અર્થ થાય છે "શૂન્ય વડે ભાગેલું" (શાબ્દિક રીતે, "જ્યાં ખ છેદ છે"). પછીના ભારતીય ગણિતમાં આ શબ્દ અત્યંત મહત્વપૂર્ણ બની ગયો કારણ કે વિદ્વાનો અનંત ના ખ્યાલ સાથે મથામણ કરી રહ્યા હતા.
• દશગુણ: આનો અનુવાદ "દસ-ગણું" અથવા "દસ વાર" થાય છે. તે ભારતીય સ્થાનિક પદ્ધતિના પાયા-૧૦ સ્વરૂપને સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે, જ્યાં ડાબી બાજુએ એક સ્થાન ખસવાથી અંકના મૂલ્યમાં દસ ગણો વધારો થાય છે.

પરંપરાગત અર્થઘટન: શાસ્ત્રીય વિદ્વાનોએ શૂન્ય અંગે કેવી રીતે ચર્ચા કરી

પ્રાચીન ભારતીય જ્ઞાન વિશેની સૌથી મોટી ગેરસમજણોમાંની એક એ છે કે તે એકમાર્ગીય હતું. વાસ્તવમાં, ગાણિતિક પરંપરા વિવિધ વિચારધારાઓ વચ્ચે ઉગ્ર ચર્ચા, ભાષ્ય અને સતત સુધારણાઓ દ્વારા લાક્ષણિક હતી. શૂન્ય વડે થતા ભાગાકારને સમજવાના સંઘર્ષ સિવાય અન્ય કોઈ બાબતમાં આ સ્પષ્ટપણે જોવા મળતું નથી.

જ્યારે ૭મી સદીમાં બ્રહ્મગુપ્તે લખ્યું કે કોઈપણ સંખ્યાને શૂન્ય વડે ભાગવામાં આવે તો તે માત્ર એક અપૂર્ણાંક બની જાય છે જેનો છેદ શૂન્ય હોય (ખ-છેદ), અને 0/0 = 0 થાય, ત્યારે તેમણે વણઉકેલાયેલી ગાણિતિક અસમંજસતા છોડી દીધી હતી. પછીના શાસ્ત્રીય ગણિતશાસ્ત્રીઓને સમજાયું કે આ નિયમો સમસ્યારૂપ હતા.

૯મી સદીમાં, જૈન ગણિતશાસ્ત્રી મહાવીરે ગણિતસારસંગ્રહ લખ્યો. તેમણે બ્રહ્મગુપ્તની ભૂલ સુધારવાનો પ્રયાસ કર્યો પરંતુ પોતાની જ એક ભૂલ કરી બેઠા, અને જણાવ્યું કે જ્યારે સંખ્યાને શૂન્ય વડે ભાગવામાં આવે છે ત્યારે તે અકબંધ રહે છે. મહાવીરે દાર્શનિક રીતે તર્ક આપ્યો: જો તમે કોઈ સંખ્યાને કશા જ વડે ભાગતા નથી, તો તમે વાસ્તવમાં તેનો ભાગાકાર કર્યો જ નથી, તેથી તે સંખ્યા યથાવત રહે છે. આ શૂન્યને એક ઓપરેટર તરીકે સમજવામાં પડતી તીવ્ર બૌદ્ધિક મુશ્કેલીને ઉજાગર કરે છે.

પરંપરાગત અર્થઘટનમાં સૌથી મોટી સિદ્ધિ ૧૨મી સદીમાં ભાસ્કરાચાર્ય (ભાસ્કર દ્વિતીય) દ્વારા તેમના પ્રખ્યાત ગ્રંથ, લીલાવતીમાં પ્રાપ્ત થઈ. ભાસ્કરને સમજાયું કે જેમ જેમ અપૂર્ણાંકનો છેદ નાનો થતો જાય છે, તેમ તેમ અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય મોટું થતું જાય છે. તેથી, જો છેદ ઘટીને સંપૂર્ણ શૂન્ય થઈ જાય, તો પરિણામી મૂલ્ય વિસ્તરીને સંપૂર્ણ અનંત થઈ જવું જોઈએ. ભાસ્કરે આ અનંત જથ્થાને ખહર કહ્યો. તેમણે તેની કાવ્યાત્મક સરખામણી પરમ સત્તા (બ્રહ્મ) સાથે કરી:

"જે રાશિનો છેદ શૂન્ય છે તેમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી, ભલે તેમાં ઘણું બધું ઉમેરવામાં આવે કે કાઢવામાં આવે; જેમ વિશ્વોના સર્જન કે વિનાશ થવા છતાં અનંત અને અચળ ઈશ્વરમાં કોઈ પરિવર્તન આવતું નથી."

ભાસ્કરે યોગ્ય રીતે ઓળખી કાઢ્યું કે શૂન્ય સિવાયની કોઈપણ સંખ્યાને શૂન્ય વડે ભાગતા તે અનંતની નજીક પહોંચે છે, આમ તેમણે ગાણિતિક શૂન્ય અને દાર્શનિક અનંત વચ્ચે એક વૈચારિક સેતુ સ્થાપિત કર્યો, અગાઉના વિદ્વાનોની ભૂલ સુધારી અને પરંપરાગત ભારતીય ગાણિતિક પદ્ધતિના સખત, પુનરાવર્તિત સ્વરૂપનું નિદર્શન કર્યું.

પ્રાથમિક અને ગૌણ સ્ત્રોતો

આ લેખ સીધી રીતે નીચેના પ્રાથમિક ગ્રંથો અને આધુનિક વિદ્વાનોના વિશ્લેષણ પર આધારિત છે:

• આર્યભટ્ટ: આર્યભટીય, કે.એસ. શુક્લા અને કે.વી. શર્મા દ્વારા અનુવાદિત (ઇન્ડિયન નેશનલ સાયન્સ એકેડમી, ૧૯૭૬). ખાસ કરીને, સ્થાન-મૂલ્યના નિયમો માટે ગણિતપાદ.
• બ્રહ્મગુપ્ત: બ્રાહ્મસ્ફુટસિદ્ધાંત. આનું પાઠ્ય વિશ્લેષણ જ્યોર્જ ઘેવર્ગીસ જોસેફના ધ ક્રેસ્ટ ઓફ ધ પીકોક: નોન-યુરોપિયન રૂટ્સ ઓફ મેથેમેટિક્સ (પ્રિન્સટન યુનિવર્સિટી પ્રેસ) માં જોવા મળતા અનુવાદો અને ઐતિહાસિક ભાષ્ય પર આધાર રાખે છે.
• ભાસ્કર દ્વિતીય: લીલાવતી, જે શૂન્ય ભાગાકારના નિયમોમાં શાસ્ત્રીય સુધારાઓ દર્શાવે છે.
• આધુનિક સંશોધન: બોડલિયન બખ્શાલી ડેટિંગની ટીકા ડૉ. કિમ પ્લોફકર (મેથેમેટિક્સ ઇન ઇન્ડિયા) અને ડૉ. ડોમિનિક વુજાસ્ટીકના શૈક્ષણિક કાર્યની સાથે ઓક્સફોર્ડ યુનિવર્સિટીના હસ્તપ્રતના પૃષ્ઠોના સંયુક્ત સ્વરૂપ વિશેના ૨૦૨૪ના રેડિયોકાર્બન ડેટિંગ સુધારાઓમાંથી લેવામાં આવી છે.